Abgeschlossene und zugleich offene Mengen [Studie]  Universitäts- und Landesbibliothek Bonn ; Nachlass Hausdorff

Signatur: NL Hausdorff : Kapsel 43: Fasz.774

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[Bonn]. - 11 Bll.. - Werk

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Inhaltsangabe:   Inhalt: $H$ bezeichne die zugleich offenen und abgeschlossenen Mengen des Raumes $X$. Das Problem von Kuratowski besteht in folgendem: Wenn $X$ separabel ist, haben dann die $H$ eine höchstens abzählbare Basis? Hausdorff definiert: $X$ hat die Eigenschaft $\cal{H}$, wenn die $H$ eine höchstens abzählbare Basis haben. Es wird dann gezeigt: (1) Jeder separable, lokal zusammenhängende Raum hat $\cal{H}$; (2) Jeder nulldimensionale separable Raum hat $\cal{H}$; (3) Jeder kompakte Raum hat $\cal{H}$; (4) Jede Menge reeller Zahlen hat $\cal{H}$; (5) Damit $X$ die Eigenschaft $\cal{H}$ hat ist notwendig und hinreichend: Es gibt eine stetige Abbildung $z= \varphi(x)$ von $X$ auf einen separablen nulldimensionalen Raum $Z= \varphi(X)$, bei der das Urbild $\varphi^{-1}(z)$ jedes $z \in Z$ eine Quasikomponente von $X$ ist und bei der das Bild $\varphi(H)$ jeder in $X$ offenen und zugleich abgeschlossenen Menge $H$ in $Z$ offen und zugleich abgeschlossen ist; (6) Ist $X$ kompakt und hat $Y$ die Eigenschaft $\cal{H}$, so hat auch der Produktraum $(X,Y)$ die Eigenschaft $\cal{H}$.

Bemerkung:   Felix Hausdorff  Das Ms.ist bogenweise numeriert: 1-3, entspr.Bll.1-11. Bezüglich eines Teilresultats zum Kuratowskischen Problem verweist Hausdorff auf W.Sierpinski, Fund.Math. 30 (1938), S.129-131. 

Ausreifungsgrad: Hs.Ms. 

Pfad: Nachlass Hausdorff

[Inventarnr.: Hs. 1980/4 (Frühere Signatur)]

DE-611-HS-2709387, http://kalliope-verbund.info/DE-611-HS-2709387

Erfassung: 30. November 1994 ; Modifikation: 26. Februar 2014 ; Synchronisierungsdatum: 2024-03-29T13:59:25+01:00

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