Perron-Stieltjes-Integrale [Studie]  Universitäts- und Landesbibliothek Bonn ; Nachlass Hausdorff

Signatur: NL Hausdorff : Kapsel 45: Fasz.936

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[Bonn]. - 47 Bll.. - Werk

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Inhaltsangabe:   Inhalt: Die ersten drei Bögen, welche mit 1-3 numeriert sind (Bll.1-12), stellen eine Vorversion von Teilen der ausführlichen Darstellung ab Bl.13 dar; zusätzlich einige Bemerkungen über Perronsche Doppelintegrale. Bll.13-47: Hausdorff geht von folgender Fragestellung aus: Gegeben sei eine monotone linksstetige Funktion $\varphi(x)$ mit $\varphi(- \infty) = 0, \varphi(\infty) = \mu $. Gibt es dann eine die Intervalle enthaltende $\sigma$-Algebra von Teilmengen des $R^1$ und auf dieser eine Mengenfunktion $\Phi(A)$ derart, daß $ \varphi(x) = \Phi(- \infty,x)$ ist? \glqq Wir werden sehen, daß diese Frage zu bejahen ist. \grqq (Bl.1). Man braucht für die Konstruktion des Maßraums Stieltjes-Integrale, die man im Riemannschen, im Lebesgueschen und im Perronschen Sinne auffassen kann. \glqq Wir versuchen es auf die Perronsche Art. \grqq (Bl.2). Inhalt im Einzelnen: Bll.14-30 unter der Überschrift \glqq Stieltjes-Perron-Integrale \grqq: im Kleinen monotone Funktionen; absolute Variation, Funktionen beschränkter Schwankung; Funktionen beschränkter Schwankung als Differenz monotoner Funktionen; Ober- und Unterfunktionen von $f$ bezgl. $\varphi$, die Operation der Verschmelzung; oberes und unteres Stieltjes-Perron-Integral; Integrabilität von $f$ bezgl. $\varphi$; finite Funktionen; Sätze über integrable Funktionen; Konvergenzsätze für Integrale über monotone Folgen; der Fall unendlicher Integrationsgrenzen. Bll.30-35 unter der Überschrift \glqq Die messbaren Mengen \grqq: charakteristische Funktion einer Menge; äußeres und inneres Maß, Maß; meßbare Mengen; die meßbaren Mengen bilden eine $\sigma$-Algebra $\calM$ (\glqq abgeschlossenes System \grqq bei Hausdorff), die Intervalle sind darin enthalten; die Borelmengen als Unteralgebra von $\calM$. Bll.36-39 unter der Überschrift \glqq Messbare Funktionen \grqq: Begriff der meßbaren Funktion; Sätze über meßbare Funktionen; Bairesche Funktionen; Skalenfunktionen (Treppenfunktionen); meßbare Funktionen als gleichmäßiger Limes von Skalenfunktionen. Bll.40-47 unter der Überschrift \glqq Integrabilität und Messbarkeit \grqq: Äquivalenz von Perron-Stieltjes-Integrierbarkeit in jedem Intervall und Meßbarkeit für Funktionen $f$, für die $\mid f \mid$ finit ist; benachbarte Funktionen; Zurückführung der Integrabilität einer meßbaren Funktion auf die Existenz einer benachbarten meßbaren und integrablen Skalenfunktion; Kriterium für die Integrabilität meßbarer Skalenfunktionen; $\intX f d \varphi = \Psi(X)$ ist $\sigma$-additive Mengenfunktion auf $\calM$; Nullmengen, Nullfunktionen.

Bemerkung:   Felix Hausdorff  Die undatierten Faszikeln 936-940 sind zu einer Sammlung \glqq Wahrscheinlichkeitsrechnung. Perron-Stieltjes-Integrale \grqq zusammengefaßt. Es handelt sich um ausführliche Ausarbeitungen, die z.T.den Charakter von Vorlesungsmanuskripten haben. Einiges könnte im Zusammenhang mit Hausdorffs Vorlesungstätigkeit der Jahre 1922-23 (Faszikeln 43 und 64) stehen. G.Bergmann gibt die Datierung \glqq 20-er Jahre \grqq. 

Ausreifungsgrad: Hs.Ms. 

Pfad: Nachlass Hausdorff

[Inventarnr.: Hs. 1980/4 (Frühere Signatur)]

DE-611-HS-2709566, http://kalliope-verbund.info/DE-611-HS-2709566

Erfassung: 7. Februar 1995 ; Modifikation: 18. Februar 2014 ; Synchronisierungsdatum: 2025-04-28T14:37:54+01:00

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